1. 几何学前沿

已经为您点赞，不过先说一下，世界七大数学难题确实是绝世难题，但它们被列为七大难题的主要原因是因为它们很重要，这不代表它们是最难最难的。高深的纯几何学板块绝对是数学第一难的领域分支！就说庞加莱猜想吧，佩雷尔曼证明了几何化猜想，但全部的证明过程用了大量的代数函数与分析手段，但如果让他们用纯几何与纯几何拓扑几何学的方法去证明这道本身是一个几何拓扑命题的绝世难题，那恐怕佩雷尔曼也做不到吧（杨米尔斯质量缺口也是一道几何问题，它的纯几何证法也是同样道理，同样无限智商难度！！！），这就体现了纯几何板块的无限智商难度！！！现在物理学中的宇宙学与高维空间这些物理概念的本质就是纯几何学与纯几何拓扑几何学板块！纯几何与纯几何拓扑几何学是数学界唯一需要人类无限思维智商能力的王者巅峰之神板块！！！（这么好像是在吹牛似的，但事实确实就是如此！）数学目前有很多前沿领域！其纯宇宙非欧黎曼宇宙几何学、纯宇宙分形几何学、纯几何群论、纯欧几里德宇宙几何学，纯宇宙非欧罗巴切夫斯基双曲几何学、跟欧氏宇宙几何学，纯宇宙非欧罗巴切夫斯基双曲几何学一体的纯宇宙几何拓扑几何学应该是最难最难的，需要人类无限思维智商难度巅峰！！（尤其是极限多的高维甚至无限高维！！！）（在这我先解释一下，这里“纯”的意思是完全不用代数、函数、分析的其它方法去研究！就连最初等的几何学还有很多难题没有解决！更不用说高深的了！所以我说以上纯粹这方面是第一难的（没有之一）！虽然用代数、函数、分析和几何几何这一板块结合深入研究是最抽象的，非常难理解，但毕竟它也降低了纯几何学与纯几何拓扑几何学的思维智商难度，当然，代数几何、微分拓扑、代数拓扑、微分几何思维智商难度也很难！仅次于纯几何与纯几何拓扑几何学。）本人也对这些最难的领域比较感兴趣，这些和物理量子场还有高维宇宙学关系密切，我觉得将来可以发展出一门新的最难分支——纯几何物理学！

2. 几何研究方向

光线

表示光传播途径的有向几何线称为光线。光是一种波动，在各向同性介质中，光线是垂直于波阵面的直线。例如，从点光源发出的光，它的波阵面是以点光源为中心的球面，它的每条光线则是以点光源为中心的球的径线；在远离光源的地方，光在小范围内的波阵面趋于平面，每条光线近似于相互平行的线。

光线只是一个数学抽象，是一个几何概念，光线表示光传播的方向，也是光能量传播的方向，光线不是光束，不能把很窄很细的一束光叫做光线（留待后文说明）。

初中光学不涉及光的波动本性，因此教材是先讲光（在均匀介质中）沿直线传播，而后才这样写道：

“由于光是沿直线传播的，我们就可以沿光的传播路线画一条直线，并在直线上画上箭头表示光的传播方向。这种表示光的传播方向的直线叫做光线。”

这段叙述，突出光线的两个要点：

其一，光线代表光的传播路线，表示光的传播方向。

其二，光线是画出来的一条带箭头的线，隐含着：光线是一条有向的几何线。

在不涉及光的波动本性时，这种讲法基本上突出了光线概念的基本要点。限于学生的接受程度，这样定义光线的概念，是初中阶段讲授概念的较好方法。

在研究面镜、透镜以及由此组成的光学仪器等实际问题时，借助于光线的概念以及一些实验定律和几何定律，可以很简便又相当准确地解决问题。这种不涉及到光的本性问题，仅以几何定律和某些实验定律为基础的光学，称为几何光学或光线光学。

研究光的波动性的光学，称为波动光学。几何光学所研究的对象实际上就是波动光学中当波长趋于零的极限情况，几何光学属于波动光学的一部分。

3. 几何学前沿研讨会

“平行线可以相交”这件事在我们现在看来，很多人都无法理解，这是因为我们知识的局限性造成的。

我们初中所学习到的平面几何学以欧几里得几何学为框架，其中对平行线的定义就是在二维平面内两条不相交的直线。

而关于直线的定义是，在二维平面上的两个点之间有且只有一条直线，也就是我们常说的两点确定一条直线。

这么看来在欧式几何学中，平行线可以无限延长，且永远不会相交。这种说法很符合人类的直觉常识，也很容易被人们接受，且深信不疑。

不仅是我们，几千年来大部分的数学家也是这样认为的。因此欧式几何学也顺势统治了人类数学史数千年的时间。

那么平行线为何又可以相交呢？这是怎么回事？这个问题涉及到了几何学的一个重大发现和突破，也不得不提一位俄罗斯数学界的牛人：罗巴切夫斯基。

1826年2月23日，34岁的罗巴切夫斯基在自己任教的喀山大学举办的一次学术讨论会上宣读了自己的一篇论文。

参加此次学术会议的都是当时数学家的大咖，其中不乏一些已经在学术界很有成就，资历比较老的前辈。

在他们眼里罗巴切夫斯基是一位在学术上非常严谨、诚实、富有才华的青年数学家，未来可期。他们也很期待罗巴切夫斯基的学术报告。

负曲率二维表面三角形内角和小于180°，且可以作已知直线的无数条平行线

在做了简短的开场白以后，接下来罗巴切夫斯基所说的话，令当时在场的所有数学家惊愕不已，罗巴切夫斯基所做的报告不仅完全超出了当时数学界的认知，且每一句话都在挑战着人们的常识。

例如罗巴切夫斯基提出：在一个二维的面上三角形的内角之和可以小于180°，当然也可以大于180°；由两条直线组成的锐角，向一边作垂线，这个垂线可以和另外一条边不相交；

正曲率表面，三角形内角和大于180°，无法作平行线

在一个二维面内，过直线外的一点，可以做多条直线与已知直线平行；当然也存在无法做平行线的情况，也就是说在一个二维面上，没有真正的平行线，任何两条直线都有一个共同的交点（平行线相交）。

看了以上的说法是不是很懵，不要慌张，当时在座的所有数学家都被惊掉了下巴，无人能理解罗巴切夫斯基在说什么。

但罗巴切夫斯基说这些看起来奇怪的说法是新的几何学，虽然和欧式几何相互冲突，但是它和欧式几何有着同等重要的地位，并请求同行对他的报告提出评议。

但此时的会场一片寂静，所有的人都流露出了怀疑、否定的态度，不敢相信这么胡扯的话能出在一位治学严谨的数学家之口。

那么罗巴切夫斯基到底说的是什么？它又发现了什么？

上文中我们不断的提到欧式几何，它是公元3世纪由古希腊学者欧几里得编写的一部数学界的旷世巨著《几何原本》。

欧几里得的几何学中，一开始写了5条公设（公理），并在此基础上进行逻辑推理导出了48个命题。公设的意思是那些不用去证明的真理。

这五条公理我们非常熟悉，这是学习几何时必须掌握的知识，其中前四条公理人们看着十分满意，但是唯独第五条（论平行线的）人们怎么看怎么不舒服。

并不是觉得它不对，就是感觉这个语句如此之长一点也不简洁，看起来更像是一条可以被证明的定理，而不是公理。

并且后来的学家也认为，是当时欧几里得无法给出这条定理的证明，投机取巧才把它写进了公理。如此想法一出，数学界就开始了长达数千年利用前四条公理去证明第5公理的道路。

在一个球面，两点之间可以作无数条直线。

但是直到19世纪初，所有的数学家都逃不过循环论证的噩梦，证明第5条公理就成为了数学家的一大历史遗留问题。

身为数学家的罗巴切夫斯基当然也加入了其中，不过他一样也发现第五条公理怎样都无法证明。但是理论的进步往往都自于一瞬间的灵光乍现。

既然无法证明，那是不是就说明证明的第五条公理的过程根本就不存在，我们去找一件本身不存的事情当然是徒劳。人类花了几千年，就算是再过上万年也会无果。

为了证明第五公理不可证明，罗巴切夫斯基首先否定了第五公理，把他更改为一条新的公理，即：过直线外的一点可以做已知直线，至少两条平行线。

将这个新的公理和前四条公理结合在一起，罗巴切夫斯基从头开始了新的逻辑推理，并发现得出来的结论虽然古怪，但是在理论上并不矛盾，而且与前四条公理完美的相容。

这只能说明，新结论和欧式几何同样具有同等的地位，且是一个完整、逻辑严密的新几何。新几何的存在也说明了第五公理并不是公理，也不是定理，它只能是一个对平行线的定义，不同的定义可以导出不同的结论，因此也无法证明。

这个新的几何学就是我们大学时学到的非欧几何，适用于弯曲的时空。罗巴切夫斯基根据他对平面内平行线的定义所得出来的几何学也被称为罗氏几何。

主要描述的是负曲率空间的几何学，虽然这是一个伟大的发现，但是由于当时人们根本找不到现实世界的类比物来理解罗氏几何。

因此罗巴切夫斯基的新发现得到的是一片冷嘲热讽，甚至是人身攻击，甚至是被当时的俄国教育部开除了公职，迫使他离开了最喜爱的大学校园。

长年的苦闷和压抑使得罗巴切夫斯基在晚年百病缠身，甚至失明。1856年罗巴切夫斯基带着遗憾和无奈走完了自己的一生。这时他的新几何学依然没有被人们认可，在追悼会上人们对他在非欧几何上的贡献也是只字不提，刻意回避。

1854年黎曼更改了第五条公理，即：在一个二维平面内，不存在平行线的存在，得出了黎曼几何。黎曼几何描述的是正曲率空间的几何学，也被称为椭球几何学。

1864闵可夫斯基提出了不同以往的绝对平坦时空，称为闵式四维时空，1868年数学家贝特拉米证明的非欧几何可以在闵式四维时空的曲面上实现。

到了二十世纪初，爱因斯坦在闵式四维时空以及非欧几何的基础上提出了相对论，为人们重新塑造了整个宇宙的时空结构。

平坦的时空只不过是宇宙中小尺度上的特例，而在大尺度上不存在所谓的平坦时空，因此非欧几何才是宇宙的本质。

宇宙曲率

整个宇宙存在一定的曲率，虽然我们观察到的宇宙近似于平坦，这只能说明我们观察的尺度较小，从整个宇宙的尺度上来说，是不存在绝对的平行线，无限延长的两条线会因为宇宙的曲率相交或者发散。

因此欧式几何就像是牛顿力学，非欧几何更像是相对论。人们当时难以接受非欧几何不亚于难以接受相对论的程度。

4. 几何学研究什么

几何是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。几何思想是数学中最重要的一类思想。暂时的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。常见定理有勾股定理，欧拉定理，斯图尔特定理等。

5. 几何学概论

苏步青（1902年9月23日-2003年3月17日），浙江省温州市平阳县人，毕业于日本东北帝国大学，中国科学院院士，中国数学家、教育家，中国微分几何学派创始人。代表作品《微分几何学》《射影曲线概论》《射影曲面概论》《苏步青业余诗词钞》《数与诗的交融》。

6. 几何学的主要领域

数学领域。几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。几何思想是数学中最重要的一类思想。暂时的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。

平面几何证明属于初等数学范畴，现在基本没有比较牛的数学家专门研究这个。现在还对平面几何这个主题感兴趣的，大概有两类人，一类是负责出数学竞赛题、写数学竞赛书的，另一类是做平面几何的机器证明的。

7. 微分几何前沿

无论哪个宇宙空间的本质都是是几何的，谁说高维宇宙空间必须是用代数板块研究的代数几何、微分几何、代数拓扑？凡是宇宙空间和几何绝对永远都会有纯几何板块！（也必须包括极限多的甚至无限高维宇宙空间）只不过任何智商极高的数学家也永远无法思维能力智商水平而已！把代数和几何结合不是最难的，代几综合、数形结合大大降低了纯几何板块的无限数学思维智商巅峰难度！微分流形主要是太复杂了，代数拓扑主要是抽象难理解，但这些还不是最烧智商的，纯几何的纯几何拓扑流形（完全不用任何代数，函数，分析，微积分工具的纯几何拓扑流形以及其它极限多的甚至无限高维宇宙空间的纯几何与纯几何拓扑几何学的纯几何板块形体…）思维能力智商难度绝对永远比这些用到代数函数微分分析工具的几何与拓扑几何难无数无限次方倍！！！要说高深的研究，不用说数学界，纯几何板块（纯宇宙非欧黎曼几何学（因为纯黎曼几何最高是四维的，所以难度差不多是无限，不能完全说就是无限），纯宇宙空间分形几何学，纯欧氏空间欧几里德宇宙几何学，纯宇宙非欧罗氏双曲空间罗巴切夫斯基双曲几何学，以及与纯欧氏空间欧几里德宇宙几何学、纯宇宙非欧罗氏双曲空间罗巴切夫斯基双曲几何学一体的纯宇宙空间几何拓扑几何学）也绝对是理科学界第一难的领域分支！！！（没有之一！）（尤其是极限多的甚至无限高维！！！）这都需要人类永恒唯一的无限数学思维智商巅峰板块的巅峰中的巅峰的无限智商巅峰难度的巅端之尖之巅点之巅的无限次方中的无限次方的无限次方无限智商巅峰难度！！！（纯几何与纯几何拓扑几何学的无限次方中的无限次方的无限次方无限智商巅峰难度——无限的极限多的甚至无限高维宇宙空间几何直观能力智商（省略“纯”），渗透着无限的极限多的甚至无限高维宇宙空间几何直观能力智商的无限的极限多的甚至无限高维宇宙空间几何空间想象能力智商（省略“纯”），以及渗透着无限的极限多的甚至无限高维宇宙空间几何直观能力智商（省略“纯”）、无限的极限多的甚至无限高维宇宙空间几何空间想象能力智商（省略“纯”）的无限的极限多的甚至无限高维宇宙空间纯几何拓扑几何空间想象能力智商的无限极限多的甚至无限高维宇宙空间纯几何拓扑几何学空间想象能力智商！！！（因为说过要是纯几何板块的，所以也可省略“纯”）实在抱歉